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垂直扇动扑翼如何产生水平推进力（2）
---- 用固定翼飞行理论分析扑翼工作
双翼转轴扇动模式
有容乃大
前言 上篇介绍了整翼上下扑动模式维持巡航（匀速直线水平）飞行的原理，及维持水平巡航飞行条件相关飞行技术数据之间关系，和驱动功率驱动效率等关系。该模式虽然便于理论分析计算，能较方便得出结果，但纵观自然界鸟类飞行，从蜂鸟到鹰鹫都是采用双翼以双肩关节为轴的扇动模式；迄今被人类成功制成的小型扑翼飞行器，也基本上采用双翼转轴扇动模式。与整翼上下扑动模式相比，双翼转轴扇动扑翼飞行方式，在方便实现转弯飞行上有着巨大优势（只需在左右翼同步扇动中形成左右扑动速度幅度差异，即可实现左右转弯飞行）。由于动作方式差别很大（注意：整翼上下扑动的全翼上下扑动速度，迎角相同；而转轴扇动两翼各部分上下线速度，迎角随至转轴距离连续变大。）有关飞行技术数据之间关系，维持水平巡航飞行条件和驱动功率关系等，显然不能照搬上篇文章结果，需要在上篇文章所采用的基本分析方法和原理基础上，根据动作方式重新进行数学推导计算。本篇专门讨论双翼转轴扇动模式扑翼飞行的相关理论。为简化问题方便读者理解，还是假定上下扑动(角)速度相同，翼安装角不变；可能有相当部分与上篇叙述相似或重复，请已经读过上篇的读者谅解。有关推导计算如有错误不当，欢迎指正！
研究目标
用固定翼理论和有关数据规律，分析扑翼工作原理。解决双翼转轴扑翼飞行模式维持巡航（匀速直线水平）飞行的原理，维持水平巡航飞行条件和驱动功率关系等。对有关起飞加速，爬升，转弯等问题暂不讨论。
双翼转轴扇动扑翼飞行的简化模型
自然界鸟类飞行从蜂鸟到鹰鹫，虽然在翼的结构特别是动作模式上差别巨大，都属双翼转轴扇动扑翼飞行。目前为止，被人类成功模仿的小型扑翼飞行器基本上属于转轴（指每边半个翼都只有一个转动关节）固定迎角结构，仅作上下扑动的。本文也就此建立扑翼的简化模型如下：见（图1 ）
附图1 扑翼飞行简化模型示意图 上部为正视图，下左为上侧视图，下中为下扑时翼中部断面图，下右为上扑时翼中部断面图
图中：速度 以橙色箭头表示，升力 以兰色箭头表示，阻力 以红色箭头表示，未标注重力！
注意：图中速度合成三角形（橙色）与升力（蓝色），阻力（红色）的垂直水平分解三角形相似！
结构： 左右每边翼根部各有一个转动关节，转轴轴心与飞行方向平行，使得两翼可以该关节为轴作上下扑动。两翼的安装迎角A固定不变。两翼长度 R （米） , 翼弦宽平均 b （米）,两翼根转轴距离 I （米）。总翼展2R+I （米）， 展弦比 (2R+I)/b 。
水平位置时两翼面积 S = 2Rb （平米）
简化说明：双翼同步 等角速度 的反复小角度转动，保证了扑动两翼在非水平位置（中位）时，翼面升力的垂直分量远大于朝向机身内（外）的水平分量，两翼升力朝向机身内（外）的水平分量相互抵消平衡（见（图1）上部示意图）。本模型限定小角度范围，主要是为了简化计算，保证了在扑动过程翼展长度变化很小。作为简化，在以下分析中，将忽略扑动过程两翼升力向机身内（外）的水平分量，并假定该扑动过程中 翼展翼面积不变，翼面各部位扑动线速度都近似为垂直向上或向下，并且在上下扑动短时段内分别保持不变。在实际运行时，转动角度可以适度扩大，所述近似条件虽不成立，实现实际匀速平飞的基本原理依然有效，相关计算数据可作为设计制造参考。
有关技术参数：
整机巡航速度 Vo （米/秒）。Vo =（Wg/（0.5dCl S））^0.5 （米/秒） ---（1）
式中d 为空气密度 1.22（千克/立米）；W整机质量（千克） g为重力加速度 9.81（牛顿/千克）；S翼面积（平米）；升力系数 Cl对应迎角A。
扑动速度和幅度 在飞行器以匀速直线水平作巡航飞行时，两翼以各根部与飞行方向平行的转轴为轴心，同步以等角速度 w （弧度/秒）在限定的小角度 B（例如正,负3度—5度）范围， 作正反转方向反复转动，使得两翼作反复上下扇动。扇动中两翼安装角 A不变。
扑动的周期T 等于两翼向上向下时间tu, td（限定转动角度/转动角速度） 加上下反转短停过渡时间to（设上下短停时间相等。按物理原理，若该时间如为零，则制动反转力矩会无限大）的2倍。
T = tu + td +2to =2(B Pi)/(180 w) +2 t o (秒) ---（2）
之中 Pi 为圆周率；角度 B 单位（度）；角速度 w 单位 （弧度/秒）。若向上wu=wd 向下,
则tu=td= (B Pi)/(180 w) ，当wu>wd则对应tu<td。本文假定上下角速度相等均为w。
翼面某部位的扑动线速度和总速度 由巡航飞行速度 Vo 与该部位相互垂直的向下或向上扑动线速度 Vp( r) 矢量合成该部位总速度，（见（图1）下部右边示意图）：
Vp (r )= w r （米/秒） ---（3）
V ( r ) = ( Vo^2 + (w r )^2)^0.5 （米/秒） ---（4）
式中 r 为翼面某部位到翼根部转轴距离，最大距离 R 。
翼面某部位总速度方向：由于扑动速度可能是向下或者向上，翼面各部位合成速度不再是水平方向，有了与水平方向夹角下倾角 Qd( r ) 或者上倾角 Qu( r ), 其大小由巡航速度与扑动速度（正比于r）之比值确定：
Qd( r)= Qu( r) = arctan ( wr/Vo) （度） ---( 5 )
翼面某部位的迎角 Y( r) 由原来安装角 A， 翼面部位距根部距离r决定的 下倾角Qd( r ) 或者上倾角 Qu( r )决定， （见（图1）下部中右边示意图）：
向下 Yd(r ) = A+ Qd( r )= A + arctan ( wr/Vo) （度） ---（6）
向上 Yu(r ) = A - Qu( r )= A - arctan ( wr/Vo) （度） ---（7）
注意：上下扑动翼面各部位的上下倾角，随着翼面某部位距根部转轴距离r 从 0 到R不断增加，带来各部位飞行迎角连续改变。对于上下反复运动的扑翼，不能像螺旋桨那样实现在安装角上预先补偿来设计等迎角工作模式，使得扑翼的相关升力阻力的实际计算（与整翼上下扑动相比）更为麻烦复杂。
受力分析：翼向下扑动时翼面各部位的合成速度下倾角的出现，是推动扑翼机向前平飞关键。正如同固定翼无动力滑翔时，速度的下倾使得翼面升力前倾，提供了平衡前进阻力的分量一样。在扑翼情况，正是靠翼速度的下倾使得翼面升力前倾，阻力上翘，提供了平衡前进阻力的分量，但此时机身继续保持水平飞行，不能像滑翔一样靠整机重力下降势能维持滑翔功率，扑翼的驱动功率需要靠转动力矩来提供。
而在向上扑动中，翼面各部位的合成速度上倾角的出现，虽然还会产生升力，但升力的后倾，对于推动扑翼机向前平飞则会产生附加阻力，阻力下翘，还抵消了部分升力，对于推进扑翼机前进只能起反作用。一个有利因素是：下扑过程翼面各部位迎角增大，上扑过程中翼面各部位迎角减小，使得下扑过程升力阻力的向前水平分量，会大于同部位翼面上扑时升力阻力向后的水平分量。
分析方法原理：针对扑翼的动作方式属于在一个固定周期中往复运动，而整机维持匀速直线运动的特点，和固定翼的匀速直线运动，旋翼，螺旋桨的匀速转动完全不同。后者属于连续运动中任何瞬态都相同的特征，可以建立任何瞬态相同的数学描述。而对于连续匀速直线运动整机中双翼的固定周期往复运动，我们须采用物理力学中冲量—动量原理来综合每个扑动周期的各垂直，水平方向分力合并作用效果，得出维持扑翼机整机巡航飞行的定量条件。
目标问题解析
扑翼机平飞各项数据
扑翼各部位升力 按固定翼理论，在上下扑动中，翼面某部位升力由下式得出（见（图1）下部右边示意图）：
dL(r ) =0.5dClb ( Vo^2 + (w r )^2) dr （牛顿） ---（8）
式中d为空气密度 1.22 （千克/立米）；b为翼弦宽（米）； dr 为该部位翼的微分长度（米）。注意：这里的升力系数 Cl 是对应相应迎角（6）（7）的数值。这里假定翼为等弦宽。
扑翼总升力 本应该由（8）式对 dr 从0到 R 积分求和x2得到。但由于下倾角，上倾角随着r变化，故需要对垂直分量，水平分量分别积分，得出总升力的垂直，水平两个分量，才能作下步分析。
扑翼各部位阻力 按固定翼理论，在上下扑动中，翼面某部位阻力由下式得出（见（图1）下部右边示意图）
dD(r ) =0.5d(Cdd+Cdi) b ( Vo^2 + (w r )^2) dr （牛顿） ---（9）
注意这里的升力系数 Cl ，直接阻力系数Cdd 是对应相应迎角（6）（7）查出的。Cdi 由下式决定：
Cdi= K Cl^2/(Pi （2R+I）/b ) ---（10） 式中K 为地效因子。
如果采用机翼升阻比 hy=Cl/(Cdd+Cdi) 则（10）可改写为与（8）更相似的形式：
dD(r ) =0.5d(Cl/hy) b ( Vo^2 + (w r )^2) dr （牛顿） ---（9a）
扑翼总阻力 本应该由（10）式对 dr 从0到 R 积分求和x2得到。但由于下倾角，上倾角随着r变化，故需要对垂直分量，水平分量分别积分，得出总阻力的垂直，水平两个分量，再作下步分析。
扑翼各部位升力阻力方向 见（图1）下部中间和右边示意图，注意按下扑，上扑两种不同情况。升力垂直于速度，阻力与速度反向。升力的前倾角和后倾角，均等于速度的下倾角和上倾角，由（5）决定。由此计算升力，阻力的垂直，水平分量。
冲量—动量原理给出扑翼机平飞各项条件
冲量--动量原理 由于扑翼机作水平匀速直线续航飞行过程中每个扑动周期前后，动量保持不变，而在每个周期中，都存在双翼下扑，短时固定和上扑三种不同动作状态，简化模型所分析的各外力除重力外，处于3种不同状态，要综合整个周期外力作用结果，就需要应用力学中的冲量--动量原理。该原理的表述是：物体（系统）在受到外力作用过程前后，总动量的变化等于在过程中外力作用冲量的大小。物体动量的定义是：物体质量乘速度，单位（千克米/秒）。外力作用冲量的定义是，外力大小乘作用时间，单位（牛顿秒）。
读者可能疑问，两个物理量单位不同，如何相等。可回忆牛顿第二定律 质量（千克）乘加速度（米/秒平方）等于受力（牛顿）。所以 1牛顿秒 正等于 1千克 米/秒。
注意：冲量--动量原理的表达是矢量关系，动量是矢量，方向由速度方向决定，冲量也是矢量，方向由力的方向决定。所以可以对一个过程给出二维分量（例如垂直，水平分量）两个等式，或者三维分量三个等式。冲量--动量原理的特殊形式就是有名的动量守恒原理，即系统在无外力作用或外力合力为零时，总动量保持不变。最适合用于分析两个物体相互碰撞的问题。
在所分析的扑翼飞行问题中，扑翼飞机作为整体，所受的空气作用升力，阻力，还有重力都是外力。转动扑翼的扭矩则属于内力。在扑翼周期的前后，扑翼机整体维持水平直线匀速运动，速度不变，总质量不变则总动量不变。按照冲量动量原理，外力的冲量之和应该为零。本问题中作为矢量表达，只需要做二维分析，所有垂直方向外力冲量之和为零，所有水平方向外力冲量之和也为零，就是维持扑翼平飞的基本条件。
在整个扑翼周期中各垂直方向分力冲量
整机（包括两翼）重力冲量 = Wg T （牛顿秒） 方向朝下 整个周期都不变。
两翼升力垂直分力冲量 为简化表述，先给出两翼某对成部位，距转轴r的dr小段翼面 升力的垂直分量表达，最后需要分别对r 从 0 到R 积分求和x2：
上扑时段 dLu(r )cosQu(r )tu =0.5dClub ( Vo^2 + (w r )^2) cosQu(r )tu dr （牛顿秒） 方向朝上；
下扑时段 dLd(r )cosQd(r )td =0.5dCldb ( Vo^2 + (w r )^2) cosQd(r )td dr （牛顿秒） 方向朝上。
注意：上扑，下扑对应的表达示形式完全相同，但对应的Cl 则对于上扑，下扑则完全不同，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。
短停过渡时段垂直分力冲量 按固定翼升力等于重力。升力冲量 = Wgto （牛顿秒） 方向朝上。
两翼阻力垂直分力冲量 为简化表述，先给出两翼某对成部位，距转轴r的dr小段翼面 阻力的垂直分量表达，需要分别对r 从 0 到R 积分求和x2（两翼）：
上扑时段 dDu(r )sinQu(r )tu =0.5d(Clu/hyu)b ( Vo^2 + (w r )^2) sinQu(r )tu dr （牛顿秒） 方向朝下；
下扑时段 dDd(r )sinQd(r )td =0.5d(Cld/hyd)b ( Vo^2 + (w r )^2) sinQd(r )td dr （牛顿秒） 方向朝上。
注意：上扑，下扑对应的表达示形式完全相同，但对应的Cl,hy 则对于上扑，下扑则完全不同，以下标u，d区分，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。
特别注意：下扑时阻力垂直分量朝上，上扑时阻力垂直分量朝下。
两翼升力阻力垂直分量冲量合并 为方便计算，把相同迎角的升力阻力垂直分量冲量合并后再进行积分求和，并把三角函数用相应的与r相关的表达替换，化简后得：
上扑时段 合并垂直冲量= d bClu [ ( cosQ( r) – sinQ( r)/hyu) ((w r)^2+Vo^2)dr]tu
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒)
= d bCl [ (Vo – wr/(hyu)) (Vo^2+(w r)^2)^0.5dr]tu
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒) ---（11） 方向朝上;
下扑时段 合并垂直冲量 = dbCld [ ( cosQ( r) + sinQ( r)/hyd) ((wdr)^2+Vo^2)dr]td
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒)
= d bCl [ (Vo + w r/(hyd)) (Vo^2+(w r)^2)^0.5dr]td
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒) ---（12） 方向朝上。
注意：上扑，下扑的表达式形式相似，但对应的Cl,hy 则对于上扑，下扑则完全不同，以下标u，d区分，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。
在整个扑翼周期中各垂直方向分力冲量的平衡条件：
整机（包括两翼）重力冲量=上扑时段两翼升阻合并垂直冲量 +下扑时段两翼升阻合并垂直冲量+过渡时段两翼升力冲量
即 所有阶段两翼升合并垂直冲量 应该平衡 整机（包括两翼）重力冲量，保证扑翼机维持水平飞行。
即 Wg(tu+td+2to)= 上扑两翼垂直向上分力x tu+下扑两翼垂直向上分力x td +2Wg to ---（１３）
注：在to时段，升力维持Vo正常迎角升力，等于Wg。
消去两边to项，已知 tu=td, 则维持扑翼水平飞行要求简化为：
（上扑两翼垂直向上分力+下扑两翼垂直向上分力）/ 2 = 整机重力 ---（１３a）
在整个扑翼周期中各水平方向分力冲量
机身阻力冲量 = 0.5dCdjSj Vo^2 T （牛顿秒） ---（１4） 方向朝后 整个周期都不变；
式中 d空气密度 Cdj机身阻力系数 Sj机身阻力截面 （平米）。
两翼某部位升力水平分力冲量 为简化表述，先给出两翼某对成部位，距转轴r的dr小段翼面 升力的垂直分量表达，最后需要分别对r 从 0 到R 积分求和x2，这里假定翼为等弦宽，b与r无关。
上扑时段 dLu(r )sinQu(r )tu =0.5dClub ( Vo^2 + (w r )^2) sinQu(r )tu dr （牛顿秒） 方向朝后；
下扑时段 dLd(r )sinQd(r )td =0.5dCldb ( Vo^2 + (w r )^2) sinQd(r )td dr （牛顿秒） 方向朝前。
注意：上扑，下扑对应的表达示形式完全相同，但对应的Cl 则对于上扑，下扑则完全不同，以下标u，d区分，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。特别注意：下扑时升力水平分量朝前，上扑时阻力水平分量朝后。
两翼短停过渡时段 按固定翼阻力冲量= 2Wgto/hy （牛顿秒） 方向朝后；
式中 hy 为该翼型（对应安装角 A 展弦比 (2R+I)/b ） 查出的机翼升阻比。
两翼某部位阻力水平分力冲量 为简化表述，先给出两翼某对成部位，距转轴r的dr小段翼面 阻力的垂直分量表达，最后需要分别对r 从 0 到R 积分求和x2：
上扑时段 dDu(r )cosQu(r )tu =0.5d(Clu/hyu)b ( Vo^2 + (w r )^2) cosQu(r )tu dr （牛顿秒） 方向朝后
下扑时段 dDd(r )cosd(r )td =0.5d(Cld/hyd)b ( Vo^2 + (w r )^2) cosQd(r )td dr （牛顿秒） 方向朝后
注意：上扑，下扑对应的表达示形式完全相同，但对应的Cl,hy 则对于上扑，下扑则完全不同，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。
两翼升力阻力水平分量冲量合并 为方便计算，把相同迎角的升力阻力水平分量冲量合并后再进行积分求和，并把三角函数用相应的与r相关的表达式替换，化简后得：
上扑时段 合并水平冲量= d bClu [ ( sinQu( r) + cosQu( r)/hy) ((w r)^2+Vo^2)dr]tu
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒)
= d bClu [ (wr + Vo/(hyu)) (Vo^2+(w r)^2)^0.5dr]tu
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒) ---（15）方向朝后；
下扑时段 合并水平冲量 = d bCld [ ( sinQd( r) - cosQd( r)/hyd) ((w r)^2+Vo^2)dr]td
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒)
= d bCld [ (wr - Vo/(hyd)) (Vo^2+(w r)^2)^0.5dr]td
对r积分求和 从ro到R (牛顿秒) ----（16） 方向朝前。
注意：上扑，下扑对应的表达式形相似，但对应的Cl,hy 则对于上扑，下扑则完全不同，需根据迎角 （6）（7）分别从[1]查出。
在整个扑翼周期中各水平方向分力冲量的平衡条件：
机身阻力冲量+上扑时段两翼升阻合并水平冲量 +过渡时段两翼阻力冲量
=下扑时段两翼升阻合并水平冲量 ----（17）
即只有依靠 下扑时段两翼升力水平分量冲量 来 平衡所有其它力（主要是阻力，也包括上扑阶段两翼升力）水平分量冲量的总合。推动扑翼机前进。
外力冲量矢量不能相互平衡的结果
上述（13）和（17）的垂直冲量及水平冲量平衡条件，是维持某扑翼机作巡航飞行状态的充要条件。
当垂直冲量不满足（13），出现向上或向下净值，则按冲量—动量变化原理，该扑翼机在每次扑翼周期后会由原来垂直动量为零，变为有向上或向下的动量增加，增加动量即该冲量净值。该净值除以整机总质量W，即该扑翼机在每次扑翼周期后增加的向上或向下的分速度，叠加在原有速度Vo基础上。整机会处于向上或向下飞行方向偏离。
当水平冲量不满足（17），出现向前或向后净值，则按冲量—动量变化原理，该扑翼机在每次扑翼周期后会由原来水平动量WVo，变为有向前动量增加或减少，增加或减少动量即该冲量净值。该净值除以整机总质量W，即该扑翼机在每次扑翼周期后在原有速度Vo基础上增加的或减少的速度。
固定翼飞机在机翼面积迎角固定，总重量固定情况下，增加推进力并不能增加巡航速度，只能使整机上爬。同理，扑翼机扑动参数变动引起在每周期内水平动量增加并不能稳定长时间改变整机巡航速度，只能使整机上爬。扑翼机的巡航速度也是由翼面积，翼型，迎角，整机重量所决定。
一个具体扑翼设计相关技术数据组合结果，能否同时实现双翼在每个扑动周期内垂直分力冲量平衡（13）与水平分力冲量平衡（17），在没有按相关公式具体出计算结果前似乎不大容易判断。后面将以实际设计参数作实例计算来验证。
扑翼驱动功率和效率计算
理论驱动功率：
对于转速固定的旋转驱动，按照物理学转动功率公式，连续匀速转动驱动功率等于转动扭矩乘角速度
N = ND x w （瓦） ---（18）
式中： N 转动功率 （瓦），ND 为转动扭矩，在忽略转动摩差力矩时等于转动物受外力阻力力矩 （牛顿米）， w 为转动角速度 （弧度/秒）
扑翼匀速转动所受外力阻力力矩
这里的外力就是与空气作用力（升力，阻力）和重力，两翼各部位力矩的计算是以垂直转轴方向分力乘上受力点到转轴距离。本模型条件下，近似在上下扑动小角度范围内认为该距离不变 即为r 。
两翼面升力阻力垂直分量合并产生的转动阻力矩
上扑时段 NDu = d bClu (Vo – wr/(hyu)) (Vo^2+(wr)^2)^0.5 r dr (牛顿米)
对r积分求和 从ro到R， 顺转动方向；
下扑时段 NDd = d bCld (Vo + wr/(hyd)) (Vo^2+(wr)^2)^0.5 r dr (牛顿米)
对r积分求和 从ro到R， 反转动方向。
两翼重力产生的转动阻力矩
上扑时段 NDu =2 (mg/2R) r dr (牛顿米) 对r积分求和 从ro到R， 反转动方向；
下扑时段 NDd = 2(mg/2R) r dr (牛顿米) 对r积分求和 从ro到R， 顺转动方向。
两翼面综合的转动阻力矩
上扑时段 NDu =（（2mg/2R）– d bClu (Vo – wr/(hyu)) (Vo^2+(wr)^2)^0.5） r dr (牛顿米)
对r积分求和 从ro到R，--（19） 反转动方向；
下扑时段 NDd =（d bCld (Vo + wr/(hyd)) (Vo^2+(wr)^2)^0.5 -（2mg/2R））r dr (牛顿米)
对r积分求和 从ro到R， --（20） 反转动方向。
注意：上扑，下扑对应的表达示形式相似，但对应的Cl,hy 则对于上扑，下扑则完全不同，以下标u，d区分，需根据迎角 （6）（7）分别查出。
根据常识，翼面每部分重力小于同部位的空气作用垂直向上分力，只有下扑时段（20）计算的阻力扭矩是正阻力扭矩，需要靠外力扭矩驱动来平衡，以保持角速度不变。驱动转动功率由此得出。
而在上扑时段，（19）计算的阻力扭矩肯定是负值，意味着该扭矩是推动转动，只有其它阻力平衡时才能维持匀速转动。驱动转动的动力设备理论上可以在此时段获得输入功率。
上扑阶段阻力扭矩是负值对于扑翼飞行动物或人力扑翼飞行的意义
上述（18）所定量描述的扑翼在上扑阶段阻力扭矩为负值的规律，从物理原理看，对于扑翼飞行动物的长距离高能效飞行具有重要意义。动物的运动要靠肌肉反复收缩伸展输出能量和休息补充，不能像机器那样维持连续能量输出。扑翼飞行上扑阶段阻力扭矩为负值的规律的原理，不仅满足扑翼飞行动物在上扑阶段相关肌肉休息补充的生理要求，还能帮助两翼轻松自如返回上扑的顶位（展翅翱翔则是相关肌肉的完全长时间休息），是各类飞行动物得以实现长距离飞行的物理基础。后面可看到，尽管实例计算扑翼飞行的理论能效在65%到84%范围，低于连续旋转螺旋桨驱动固定翼飞行的理论能效（可大于90%至95%），扑翼设计在一些特别要求的小型仿生飞行器甚至于人力飞行运动器械中，还具有一定的竞争力。
扑翼短停反转所受制动力扭矩及做功
双翼以角速度w 转动 B (度)后，在to时间内停顿并以同样角速度反转，则在to时间内两个翼的转动角速度变化是 2w，所受制动加速力矩应分别等于： (2w/to)RI （牛顿米） 这里RI是每个翼的转动惯量。 对于均匀质量分布的每个翼总质量m/2 (千克），长度R（米），转动惯量为 mR^2/4（千克平方米）。则短停反转所受外力矩约为 w mR^2/(2to) (牛顿米)。这个外力矩由限位制动机构提供和承受反作用，由于在该段时间双翼基本上无转动，从功能原理分析，限位制动机构提供的该力矩对翼面转动做功为零。在计算扑翼驱动功率中不必计入。
扑翼驱动功率
由于是非连续但反复匀速小角度转动，把按（19）（20）计算的上扑，下扑时段阻力扭矩乘角速度，得出两时段的驱动功率，进而乘两时段时间，得出驱动做功，相加后得出每周期总做功，被周期除即得到驱动功率（不考虑任何机构摩差损失的理论值）。
N = (NDu w tu+NDd w td)/ T (瓦) ---(21)
前面已经分析，在上扑时段，（19）计算的阻力扭矩肯定是负值，意味着该扭矩是推动转动，只有其它阻力平衡时才能维持匀速转动。驱动转动的动力设备理论上可以在此时段获得制动能量。而在实际驱动装置并不能把该时段转动制动力矩获得能量吸收储存再利用的情况下，该公式中的负数值即上扑项应该取消。
N = (NDd w td)/ T (瓦) ---（21a）
扑翼驱动效率
理论扑翼驱动效率 = 扑翼飞行器巡航功率/ 扑翼驱动功率
理论扑翼飞行的巡航功率应该等于飞行速度乘总空气阻力，我们在此简化按双翼固定的状态计算总空气阻力(机翼阻力加机身阻力)
D= Wg/hy + 0.5d Dj SjVo^2
巡航功率=WgVo/hy +0.5dCdjSjVo^3
理论扑翼驱动效率 = （WgVo/hy +0.5dCdjSjVo^3）/ N ---（22）
N 根据驱动装置功能 按（21）或（21a）。
参数设计和实例计算验证
扑翼机参数选择步骤
建议有兴趣者可按下述步骤选择所设计扑翼机技术参数：
总起飞重量W --> 巡航速度Vo -->翼面积S（翼型，安装角A） -->展弦比 （升阻比） --> 翼展2R （平均弦宽b，翼根轴距I） -->最大上下倾角 Q( R)-->转动角速度W -->转动角度范围B --> 上下扑时间tu td-->扑动周期 T ( to)。
参数选定后，按照上述公式计算平衡条件，看（１３）（１7）两个公式能否满足。根据差值，适当调整ｗ，Ｑ直到基本满足。
设计实例
现在所见成功扑翼机飞行实例大都属于小型，总重数百克，翼展尺寸小于1米。作为挑战，选个总重数千克，翼展数米的实例作计算举例。
参数选定 总重W =5千克，巡航速度Vo= 10米/秒，翼型见[1]，安装角A= 4.5度 查Cl=0.7 按（1）算得翼面积：
S = 5x9.81/(0.5x1.22x0.7x100)= 1.149 平米
取展弦比 20，得平均弦宽 b=（1.149/20）^0.5=0.24 米，这里假定翼为等弦宽；R= 2.4 米，取跟轴距0.05米；
若取最大上下倾角 6.5 度，上扑最大迎角 为4.5-6.5=-2 度；下扑最大迎角 为4.5+6.5=11 度
则按（5） wR/Vo=tan 6.5=0.1139, 带入Vo R w=0.1139x10/2.4=0.475 弧度/秒
取两翼转动最大角度范围B=10度，短停时间2to=0.16秒，则按（1）
td=tu= (B Pi)/(180 w) =10x3.1416/(180x0.475)= 0.367 秒， T=(0.367+0.08)x2= 0.894 秒；
设机身截面 Sj=0.06x0.08=0.0048 平米， 机身阻力系数Cdj 0.20。
垂直及水平分力冲量平衡结果实例计算（简化粗略验证）
作为演示，采用数值积分求和近似计算，把每侧扑翼分6段，段长0.4米（实际计算应用计算机软件工具可以分为100段或者更多段来做数值计算），近似认为每段翼都按其中心的速度大小和方向，求出每段产生的升力，阻力 按每段中心的上下倾角，迎角，查得系数，按（11）--（16）计算两翼各段升阻力合并的垂直，水平分量的冲量，求和。（表1）
表1 双翼各段运动参数 各段面积 0.24x0.4=0.096（平米） td,tu0.367（秒），to0.08（秒）,T0.894（秒）
段号 1 2 3 4 5 6 总合
中心距r（米） 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2
上/下倾角（度） 0.544 1.632 2.719 3.805 4.887 5.966
上扑迎角（度） 3.956 2.867 1.780 0.695 -0.387 -1.466
下扑迎角（度） 5.044 6.132 7.219 8.305 9.387 10.47
上扑 Cl/ hy 根据[1] 0.645/42 0.537/40.5 0.428/37.5 0.319/31 0.211/19 0.103/12
下扑 Cl/ hy 根据[1] 0.754/42.3 0.863/40.5 0.972/39 1.08/37 1.187/34 1.297/32
上扑合并垂直冲量(牛顿秒) 上 2.774 2.306 1.840 1.374 0.909 0.446 9.65
下扑合并垂直冲量(牛顿秒) 上 3.242 3.709 4.177 4.646 5.115 5.585 26.47
上扑合并水平冲量(牛顿秒) 后 0.092 0.123 0.137 0.136 0.126 0.084 0.698
下扑合并水平冲量(牛顿秒) 前 -0.0457 0.0141 0.0914 0.184 0.2876 0.4104 0.94
整机重力冲量=5x9.81x0.894=43.85 （牛顿秒）朝下；
机翼短停升力冲量=2x0.08x5x9.81=7.848 （牛顿秒）朝上。
垂直冲力分量综合 朝上 9.65+26.47+7.848=43.968 比整机重力冲量(朝下) 43.85 多0.118(牛顿秒) 相对差+2.7%。
即计算的扑翼提供的向上垂直冲量 比同期总重力冲量大出约 2.7%内。在误差范围可认为满足平衡。
水平冲力分量综合
机身阻力冲量=0.5x1.22x0.0048x0.20x100x0.894= 0.0523 （牛顿秒）朝后；
机翼短停阻力冲量=2x0.08x5x9.81/42.5= 0.1846 （牛顿秒）朝后；
下扑朝前水平冲量 0.9415(牛顿秒) 比朝后阻力冲量总合0.0523+0.1846+0.698= 0.9349(牛顿秒)
大0.0066(牛顿秒) 相对差0.7%。
即计算的扑翼下扑提供的朝前冲量 比同期整机总水平阻力冲量大出约 0.7%。在误差范围可认为满足平衡。
计算驱动功率及效率实例计算
作为演示，采用数值积分分段求和近似计算，把每侧扑翼分6段，段长0.4米（实际计算应用计算机软件工具可以分为100段或者更多段来做数值计算），近似认为每段翼都按其中心的速度大小和方向，求出每段产生的升力，阻力 按每段中心的上下倾角，迎角，按[1]查得系数，按（19）（20）计算两翼各段升阻力合并的垂直分量的阻力扭矩，分别求和。（表2）
表2 双翼各段运动参数 各段面积 0.24x0.4=0.096（平米） td,tu0.367（秒），to0.16（秒）,T0.894（秒）
段号 1 2 3 4 5 6 总合
中心距r（米） 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2
上/下倾角（度） 0.544 1.632 2.719 3.805 4.887 5.966
上扑迎角（度） 3.956 2.867 1.780 0.695 -0.387 -1.466
下扑迎角（度） 5.044 6.132 7.219 8.305 9.387 10.47
上扑 Cl/ hy 根据[1] 0.645/42 0.537/40.5 0.428/37.5 0.319/31 0.211/19 0.103/12
下扑 Cl/ hy 根据[1] 0.754/42.3 0.863/40.5 0.972/39 1.08/37 1.187/34 1.297/32
上扑合并垂直扭矩(牛顿米) 上 -1.449 -3.582 -4.699 -4.800 -3.886 -1.965 -20.38
下扑合并垂直扭矩(牛顿米) 上 1.704 5.876 11.07 17.28 24.52 32.79 93.24
由上表数支积分计算结果看到，上扑时段转动阻力扭矩数值的确实负值，实际上即便不能获取储存能量，至少不需要驱动做功。下扑时段合并垂直阻力扭矩 93.24 （牛顿米），则按公式（21）或者（21a）计算本实例驱动功率理论值为：
驱动系统不具备储能转化功能时 按（21a）
驱动功率 = 93.24x0.475x0.367/0.894= 18.18 （瓦）
驱动系统具备储能转化功能时 按（21）
驱动功率 = （ 93.24 -20.38）x0.475x0.367/0.894= 14.20 （瓦）
计算驱动效率
按公式（22）计算本实例驱动效率理论值为：
驱动系统不具备储能转化功能时
驱动效率=（5x9.81x10/42+0.5x1.22x0.2x0.0048x1000）/ 18.18 =(11.678+0.586)/18.18= 0.674
驱动系统具备储能转化功能时
驱动效率=（5x9.81x10/42+0.5x1.22x0.2x0.0048x1000）/ 14.20 =(11.678+0.586)/14.20= 0.864
实例验证结论：所给设计例数据，按本文公式通过数值积分计算，在误差范围内，整个周期扑翼的上下扑动中的垂直向上分力冲量，能够平衡整机重力冲量。而扑翼的下扑确实能提供足够水平推进力冲量，平衡整个周期扑翼的上下扑动中的水平阻力冲量，维持巡航飞行条件。证明相关公式可用于实例参数设计计算，指导具体实施。
关于实例验证驱动功率效率结果的讨论
尽管数值计算比较麻烦，应用固定翼理论和机翼有关系数和本文推导的公式，通过数值积分最终可以成功计算扑翼机的驱动功率和驱动效率。
实例计算结果表明，假定驱动机械效率100%，在不能储存利用上扑转动扭矩能量的前提下，扑翼单靠下扑转动功率驱动，最终驱动理论效率约67%，达不到70%；在驱动系统具备储能转化功能时，最终理论驱动效率约为86.4%。与用同样理论和参数推导的螺旋桨（按等迎角射计制造）的驱动飞行效率（90%以上）[2]相比，都要低。和上篇所述整翼上下扑动飞行器的驱动效率基本在同一水平。
即便如此，本文所给实例近似数值计算出的理论驱动效率，与所见报道的目前成功扑翼机所实现的实际驱动效率相比，还是要高不少。可见在现有扑翼机设计水平和实际驱动效率上，还有较大研究改进提高的余地。
参数选择原则：
通过以上实例设计计算，看到只要参数选择合适，维持合适足够转轴角速度，的确可依靠下扑过程获得足够的水平推进力维持续航飞行。利用固定翼理论的翼型，各迎角下升力系数，阻力系数，展弦比，机翼升阻比等技术数据，可以通过本文有关公式实现对双翼转轴扑翼飞行器相关参数的计算验证。
作者对扑翼设计者们提供的选择关键技术参数的原则如下：
技术可能尽量大展弦比；
对于转轴扇动模式，尽量采用等弦宽，既便于数值积分计算，也保证扑翼扇动效率。（注意：整翼上下扑动的全翼上下扑动速度，迎角相同；而转轴扇动两翼各部分上下线速度，迎角随至转轴距离连续变大。）
安装角选择对应翼型展弦比的（机翼升阻比较大）较佳迎角，注意维持上扑时最大实际迎角不小于-1.5度。
转动角速度w 对增加下扑水平推进力起直接作用。尽量保证80%以上翼面扑动线速度大于巡航速度/升阻比 wr - Vo/(hy)>0；
由巡航速度和角速度以及翼展长度决定的最大上下倾角，除非专门设计上下扑动阶段改变安装角的机构，在固定安装角情况下，应保证下扑时翼尖处最大实际迎角不大于12度，上扑时最大实际迎角不小于-1.5度。
（完）2018/04/20 初稿；2021/01/24修订，发表于 中国滑翔网/论坛/硬翅飞行 网页 和 新浪博客
参考文章
[1] 固定翼飞行器速度与阻力基本关系 巡航速度范围内升阻比等 本作者
链接http://bbs.paracn.com/t-57170-1-1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_776ce1db0102xkaa.html
[2] 驱动螺旋桨如何工作---- 用固定翼飞行理论分析旋翼工作（下）本作者
链接http://bbs.paracn.com/t-57245-1-1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_776ce1db0102xlak.html
[3] 垂直上下扑动的翼如何产生水平推进力（1）---- 用固定翼飞行理论分析扑翼工作 本作者
链接 http://bbs.paracn.com/t-58220-1-1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_776ce1db0102zdve.html
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发表于 2021-1-24 09:27
