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[心得交流] 升力旋翼能效与翼片形状关系

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发表于 2020-12-3 14:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 有容乃大 于 2020-12-3 14:38 编辑

升力旋翼能效与翼片形状关系
有容乃大


引言:问题的提出
升力旋翼是直升机(无人机)和可垂直起降固定翼飞机得以垂直起降的主要技术装置。目前所见各种直升机产品旋翼翼片在基本外形上都近长矩形,即近似等弦宽翼片,仅在翼尖和翼根处稍有变化。
    但反观现有的各种重量级别电动多旋翼无人机的升力旋翼翼片形状,与大型直升机旋翼翼片形状却有不同。比较流行的是类似梯形外形,即非等弦宽翼片:翼片尖部弦宽小,随接近轴根部弦宽逐渐变大。
    众所周知,固定翼飞机机翼大都采用翼尖弦宽小,翼根弦宽大的类似梯形外形。由于固定翼飞行时翼尖和翼根的空速相同,相同迎角翼型的单位面积产生的升力/阻力对于翼尖部和翼根部都相同,而根部弦宽(厚度)增加后机翼强度更大,在同样展弦比(翼展/平均弦宽)及总翼面积下,上述梯形机翼设计可在维持机翼升阻比不变前提下增加机翼根部强度,所以被普遍采用。
   而对于旋翼翼片而言,由于翼片各局部的空速与至轴心距离半径成正比,而翼片各局部产生的阻力对总转动阻力矩又正比于至轴心距离半径,相同迎角翼型的单位面积翼片产生的升力/阻力均正比于空速平方,对于翼尖部和翼根部空速会大不相同。在同样翼型,迎角,转速,直径,展弦比(直径/平均弦宽)及总翼片面积下,梯形翼片的升力,阻力矩,有效功率等肯定会与矩形翼片的不同。
  笔者此前推导的旋翼转速,升力,阻力矩,有效功率计算公式,都是按等弦宽条件得出的。对于非等弦宽的梯形翼片,上述计算公式将会有何变化?特别是,在同样翼型,迎角,翼片面积,翼片展弦比条件下,何种外形(等弦宽矩形/非等弦宽梯形)能获得更高的能效?是一个值得研究的有趣问题。
  本文在合理简化模型下,得出不同宽窄比梯形翼片相关旋翼转速,升力,阻力矩,有效功率计算公式,并与相同翼型,迎角,翼片面积,翼片展弦比在相同转速条件下等弦宽矩形翼片的结果进行比较,讨论。也与相同翼型,迎角,翼片面积,翼片展弦比,相同总起飞质量条件下等弦宽矩形翼片的悬停转速,悬停升功比作了比较。有关结果,供飞行爱好者,有关企业技术人员,大学有关专业学生或研究生参考。有不对之处欢迎批评指正。

简化模型
基于实际翼片翼根对轴心距离均远小于翼片半径,为理论推导能得到解析表达更为简化结果,把翼片水平投影形状作为下述几何简化模型:
假定翼片为相同安装迎角,相同翼型断面的等腰梯形;下底位于转轴心;上底距转轴心高度为翼片半径R;上下底(弦宽)平均值也即位于R/2处弦宽为b,也即翼片平均弦宽。
则该翼片面积为 bR,展弦比为2R/b。
为表征该梯形上下底差造成前后沿相对翼片中心线的斜率,定义斜率x:为上下底差除以半径。假定下底大于上底时x为正值。
按上述模型设定,则得:  下底宽=xR/2 +b,上底宽=b – xR/2,
距转轴心r处翼片弦宽= xR/2 +b –xr 。即弦宽是距转轴心距离的一次线性函数。在对各物理量从r=0至r=R作定积分,可获得解析表达结果。

公式推导方法和结果

   方法:当上述翼片按角速度w旋转时,把翼片距轴心r处翼片单元面积ds=(xR/2 +b –xr)dr 所产生的升力对r积分(从0至R)即可得旋翼单翼片总升力公式;把单元面积产生的阻力矩(阻力乘r)对r积分(从0至R)即可得旋翼单翼片总阻力矩公式;以总阻力矩乘w即可得旋翼单翼片总有效驱动功率公式;把总升力除以总有效驱动功率,即可得旋翼升功比计算公式。令升力等于总起飞重量,由升力公式可计算出悬停转速;把悬停转速带入功率公式则可得悬停功率;把悬停转速带入升功比公式可得悬停升功比。
结果 各结果公式如下:

升力  L=0.5dClmbw^2R^3(1-xR/(4b))/3       牛顿
       =0.5dClmSy(wR)^2(1-xR/(4b))/3   牛顿          (1)
式中:d空气密度(1.22 千克/立米);  Cl 按翼型,迎角对应的升力系数;w 旋翼转速角速度 (弧度/秒);旋翼总翼片数 m;b平均弦宽(米);R 旋翼半径(米);Sy=bR   翼片面积(平米); wR 翼尖线速度(米/秒);x梯形斜率 (定义见上面)。
阻力矩 Nd =0.5dCdmbw^2R^4(1-3xR/(10b))/4       牛顿米   (2)
式中:d空气密度(千克/立米);  Cd 翼型,迎角及展弦比对应的总阻力系数;w 旋翼转速角速度 (弧度/秒);m旋翼总翼片数;b平均弦宽(米);R 旋翼半径(米);x梯形斜率(定义见上面)。
有效驱动功率  N=0.5dCdmbw^3R^4(1-3xR/(10b))/4   瓦       (3)
升力功率比    hx=L/N=4(Cl/Cd)(1-xR/(4b))/(3wR(1-3xR/(10b)))  牛顿/瓦
  如定义该翼片翼型迎角及展弦比对应的升力系数与阻力系数之比为该翼片升阻比  hy= Cl/Cd
则有  hx=L/N=4hy(1-xR/(4b))/(3wR(1-3xR/(10b)))  牛顿/瓦
        =(4hy/3wR)(( 1-xR/(4b))/ (1-3xR/(10b)))牛顿/瓦     (4)   

悬停转速  当升力等于总起飞重量Wg,按(1),得所需悬停转速角速度:
有  w=(3Wg/(0.5dClmbR^3(1- xR/(4b)))^0.5    弧度/秒       (5)
      =(3Wg/(0.5dClmSyR^2(1- xR/(4b)))^0.5    弧度/秒
有效悬停功率  把(5)代入(3),得:
Nx=0.5dCdmb (3Wg/(0.5dClmbR^3(1- xR/(4b)))^1.5R^4(1-3xR/(10b))/4  瓦  (6)
       =0.5dCdmb (3Wg/(0.5dClmSyR^2(1- xR/(4b)))^1.5R^4(1-3xR/(10b))/4  瓦
有效悬停升功比 把(5)代入(4),得:
hx=(4hy/(3R(3Wg/(0.5dClmbR^3(1- xR/(4b)))^0.5)(( 1-xR/(4b))/ (1-3xR/(10b)))牛顿/瓦     (7)   
  =(4hy/(3R(3Wg/(0.5dClmSyR^2(1- xR/(4b)))^0.5)(( 1-xR/(4b))/ (1-3xR/(10b)))牛顿/瓦
  
结果公式进一步简化 为把上述结果式进一步化简,把斜率x用另一个更直观易理解的参数替代,特定义k梯形上下底宽相差系数,k为上下底差除以上下底均值。则x=kb/R。代入上述公式后,有关式子中:
(1- xR/(4b))=(1- k/4)=1-0.25k  ,而 (1-3xR/(10b))=(1-3k/10)=1-0.3k 。
则各公式更为简明。这里不再重复列出简化后各公式。
    经上述简化后,读者可直观通过k值正负及其绝对值大小,直接判断梯形翼片水平投影外形变化。注意:在所有变化中,都保持面积不变,Sy=Rb,旋翼翼片展弦比不变=2R/b(b是平均弦宽)。
例如,k=0,斜率为0,翼片为矩形;
  k为正数由小到大(小于2),翼片为根部为宽尖部窄的等腰梯形,k越大,斜率越大;
k=2,翼片为根部宽的等腰三角形。
  当k为负数,绝对值由小到大(小于2),翼片为根部窄尖部宽的等腰梯形,k绝对值越大,斜率越大;
k=-2,翼片为尖部为底宽的等腰三角形。

结果计算列表 为给读者实际数值概念,特把相同翼型,迎角,展弦比,翼片面积,翼片数的,不同底宽相差系数k梯形翼片旋翼的上述各项技术数据相对比值,(假定在展弦比不变的情况下,升力系数与总阻力系数比值hy不变,注意总阻力系数中的诱导阻力系数与升力系数和展弦比有关)。
   尽管目前未见有倒梯形(k为负值)翼片旋翼产品出现,也给出不同-k值结果,供读者参考。
计算列表如下:
表1,转速相同各技术数据相对比值

底宽相差系数k  0矩形 梯形 0.2     0.5     0.7     1     1.5  倒梯形 -0.2   -0.5  -0.7    -1    -1.5  
  升力L          1        0 95   0.875  0.825   0.75   0.625       1.05  1.125  1.175  1.25  1.375
  阻力矩Nd      1        0.94    0.85    0.79    0.7    0.55       1.06  1.15   1.21    1.3   1.45   
  有效功率N     1        0.94    0.85     0.79   0.7    0.55       1.06  1.15   1.21    1.3    1.45
升力功率比hx    1       1.01   1.029    1.044  1.071  1.136      0.99  0.978  0.971   0.96   0.948

表2,总重量相同悬停时各技术数据相对比值
   底宽相差系数k  0矩形 梯形 0.2   0.5     0.7     1     1.5  倒梯形 -0.2   -0.5  -0.7    -1    -1.5   
   悬停转速        1        1.026  1.069  1.101  1.155  1.265     0.976  0.943  0.922  0.894  0.853
悬停有效功率Nx   1       1.015  1.038  1.054  1.078  1.113     0.985  0.964   0.95   0.93   0.899
悬停有效升功比hx   1      0.985  0.963  0.9488 0.9276  0.898     1.015  1.037  1.053  1.075  1.112  


结果讨论
   由各公式,以及表1数据,可初步总结:
        上述结果表明,在斜率x=0或底宽差数k=0时,梯形翼片各公式都与此前推导等弦宽(矩形)翼片对应计算公式相同。
        升力公式结果表明,在正斜率情况,相同转速的梯形翼片旋翼比同面积同半径矩形翼片旋翼产生的升力要小,相对差值因子等于0.25k。即斜率越大,上下底宽差系数越大,升力越小。
        阻力矩公式结果表明,在正斜率情况,相同转速的梯形翼片比同面积同半径矩形翼片产生的阻力矩也要小,相对差值因子等于0.3k。斜率越大,上下底宽差系数越大,阻力矩也越小。
        有效驱动功率公式结果表明,在正斜率情况,相同转速的梯形翼片比同面积同半径矩形翼片产生的驱动功率也要小,相对差值因子等于0.3k。斜率越大,上下底宽差系数越大,阻力矩也越小。
        升功比公式结果表明,在正斜率情况,相同转速梯形翼片比同面积同半径矩形翼片的升功比略有增加,相对比值因子等于( 1-0.25k)/ (1-0.3k)。 上下底宽差系数越大,相对的升功比越大。
  是否可以根据升功比增大,就得出正斜率梯形旋翼的能效比同翼型迎角翼片半径翼片面积的矩形旋翼的能效高的结论?
  回答是否定的。因为上述计算结果都是在转速相同条件得出的。实际升力旋翼的能效比较,是要考核对相同总飞行重量的飞行器的悬停功率,及悬停升功比。通过表2数据,可以明显看到,由于正斜率梯形翼片旋翼比同翼型迎角翼片半径翼片面积的矩形旋翼的悬停转速要高,导致悬停功率增大,对于同样飞行重量,必然导致其悬停有效升功比相对于矩形翼片旋翼变小,也就是说,能效降低。例如k=1.5时,有效升功比降低约10%。
    反倒是至今无人采用的负斜率的倒梯形翼片(翼根弦宽小,翼尖弦宽大),可能在同样转速下产生更大升力,相应有效驱动功率增大,但对于同起飞总重量,悬停有效升功比(旋翼能效)比矩形翼片旋翼要有所提高。例如k=-1.5时,有效升功比增加约11%。本结果是否能经受实验验证,值得期盼。

后记:通过简化模型推导计算,表明正斜率梯形翼片的设计,比同面积同半径矩形翼片的旋翼,在相同转速条件下,会减少升力,阻力矩和有效驱动功率,同转速的升功比略有提高。但是对于同起飞重量飞行器,悬停转速增高,悬停功率增大,有效悬停升功比会减小,最终导致旋翼能效减小。
  任何理论推导结果都需要经过实验验证。相信直升机旋翼一直采用基本矩形翼片设计也是长期实践结果。
  目前的多旋翼飞行器产品尽管总起飞重量小,可实现升功比较大,但旋翼能效高低直接影响其续航时间,需要尽量提高。建议学习重型直升机旋翼设计,尽量采用矩形翼片,不要盲目跟风采用梯形翼片。如有创新意识,不妨试一试倒梯形翼片。(完)
    12/2/2020 发表
发表于 2020-12-17 05:26 | 显示全部楼层
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