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[心得交流] 固定翼飞行器速度与阻力基本关系巡航速度范围内升阻比等

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发表于 2018-2-2 03:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 有容乃大 于 2018-2-2 03:15 编辑

固定翼飞行器速度与阻力基本关系
巡航速度范围内升阻比/阻力/功率的变化

有容乃大


前言 上篇在“滑翔中国网/论坛/天上人间”发表的“滑翔飞行速度有关问题讨论”文中,在滑翔速度(通过改变迎角)调控致使升阻比变化的讨论里,没有详说阻力具体计算及变化规律,直接给出了升阻比变化结果趋势。现补写本文,对带驱动固定翼飞行器速度阻力计算基本规律作专门讨论。提出机翼升阻比概念,给出典型翼型不同迎角机翼升阻比曲线;讨论各巡航速度范围内升阻比,阻力和驱动功率随巡航速度的变化,以及最佳巡航速度与作距离飞行最小能耗问题。文中自然也提起去年初在网上与“老丘”“人力扑翼”争论的“诱导阻力到底是正比与速度平方还是反比于速度平方?”老话题,把该问题的本质说清楚。刚刚还就上述问题查一下“百度百科”,觉得本文的讨论更为清楚明白,对愿意探索飞行原理的广大飞行运动爱好者,有志于飞行事业的大中学生可能有所助益。

阻力与速度的基本关系
固定翼飞行理论的核心就是对机翼受相对运动的空气作用产生升力和阻力的定量分析。该理论把机翼在空气中以固定相对速度运动时所受空气作用力分解为相互垂直的两个力来分析处理,其中与运动方向相反的力称为阻力,与运动方向相垂直的向上的力称为升力。理论分析和实验测定都显示:升力阻力的大小与飞行速度平方成正比

机翼 升力 的基本关系式  如上篇文中给出 :
        L = 0.5d Cl S V^2                                                          (1)
式中:  L   机翼升力 (牛顿); d  空气密度(标准条件下 1.22千克/立米);  Cl   机翼翼型在某迎角下的升力系数;
        S   机翼面积  (平米);V  机翼相对空气运动速度 (米/秒) 注意:这里 速度可以从零到最大速度。

典型翼型升力系数随迎角变化规律 如上篇文中给出,某典型翼型的升力系数与迎角关系见(图1)。该图显示:大约从负5度到10度(具体数据按翼型不同有区别),升力系数随迎角增大从0开始近似以直线关系增大。迎角从负2.5度到10.5度,升力系数从0.25近似以直线关系增加到1.5,增长6倍。而在迎角大於15度后则不再随之增大,反而随迎角增大而下降。一般把升力系数不再随之增加反而下降的迎角称为失速迎角,对应着飞行器的失速速度。
图1:某典型翼型的升力系数与飞行迎角关系(自网上复制) 一般翼型具体数值不同,但都有类似曲线关系。


   在专门讨论阻力的文章中为何还要重复升力系数随迎角变化规律?因为下面会看到,因为阻力的变化和升力系数的变化直接相关。

机翼 阻力 的基本关系式   在数学表达上,和升力关系 (1)完全相似:
        Dw = 0.5d Cd S V^2                                                         (2)
式中:  Dw   机翼阻力 (牛顿); d  空气密度(标准条件下 1.22千克/立米);  Cd   机翼翼型在某迎角下的阻力系数;
        S   机翼面积  (平米);V  机翼相对空气运动速度 (米/秒) 这里 速度可以从零到最大速度。
飞行器机身等部分受到的空气阻力 与空气密度,速度,机身截面积,形状对应的阻力因子等也有类似关系,这里不细表。


直接阻力和诱导阻力    需要强调:机翼阻力系数不同于其升力系数,仅单纯取决于翼型,和迎角。阻力成分中有相当部分还和对应的升力系数相关。理论分析把机翼阻力系数分为与升力系数无关的部分,称为直接阻力系数 Cdd (与升力系数相似,仅单纯取决于翼型,和迎角)以及与升力系数相关的部分称为诱导阻力系数Cdi两个部分:
       Cd = Cdd + Cdi                                                              (3)


典型翼型直接阻力力系数随迎角变化规律  从网上虽未找到典型翼型直接阻力系数随迎角变化的具体数据图,但得知其大致随迎角变化规律曲线特征是:从0度到5度 Cdd 变化不大,然后逐渐随迎角增大不断增加,直到约90度。特别是在迎角超过失速迎角15-20度,Cl所数值下降以后,Cdd 继续随迎角增大近似直线增加。
    参考资料[1]英国皇家航空学会公布的科普资料中,没有给完整曲线,但给出了翼型Lissaman 7769在三个常用迎角下的Cl,Cdd 具体数值,见表1。为给Cl,Cdd/迎角关系曲线定标提供了珍贵依据。
表1  翼型Lissaman 7769在常用迎角的Cl,Cdd 具体数值(引自参考文献[1])        
迎角(度)   3.5       5.5          7.5      
   Cl         0.6        0.8         1.0      
   Cdd      0.0086    0.0089       0.01     


诱导阻力系数 Cdi 的确定 理论推导(并经试验验证)给出,诱导阻力系数 Cdi与 升力系数Cl,地效因子K, 机翼展弦比AR 之间的数学关系是公式(4):
           Cdi = K Cl^2/(Pi AR )                                                (4)                                                         
式中:Pi 圆周率;K地效因子,是个小于1的常数,表征机翼在离地距离与翼展长度相比较小时,诱导阻力受地面效应影响的变小(见图2)。所谓的地效飞行器,就是一种选择 翼面离地面(水面)距离/翼展 小于0.2附近的高度作为主要飞行高度,利用地效因子K减少约40%飞行器阻力,专门设计建造的特殊飞行器。而在高空时,K =1。
图2  地效因子与机翼离地距离/翼展 关系曲线(引自参考文献[1])


展弦比 AR = 翼展长度/平均翼弦长度 。由(4)可见,当 AR 等于无限大时,Cdi =0(由于结构强度及跑道宽度限制,在实际飞行器设计制造中,过大的翼展难以实行)。表明诱导阻力正是由于升力(翼面上下压力差)在翼展有限情况下在翼尖产生空气漩涡,而形成的对机翼的阻力的效应。行进中飞机翼尖形成的气漩涡可以通过(图 3)得到直观印象。
图3  NASA 拍摄的机翼翼尖形成漩涡试验(采用彩色烟雾显示方法)照片(引自参考文献[1])


机翼阻力的数值计算 综合(2)(3)(4)加上 图3曲线,就是机翼阻力与速度基本关系的表达。具体应用时,需要知道翼型在不同迎角下升力系数Cl 阻力系数Cdd的数据表,加上机翼面积,展弦比 数据,才可计算出不同飞行迎角下,分别从零到最大飞行速度下,机翼阻力的数值。
   可见阻力的计算规律比升力计算要复杂不少。作为对比,根据(1),只需要知道机翼面积,翼型在不同迎角下升力系数Cl,就可以计算出不同飞行迎角下,分别从零到最大飞行速度下,机翼升力的数值。
   从上述基本关系看出,对应某固定翼型,固定某定迎角,翼面积,翼展,(展弦比=翼展平方/翼面积),固定离地高度
机翼阻力,包括直接阻力和诱导阻力,都是正比与速度平方。实际数据还给出,对于一般展弦比,在相同速度下,诱导阻力比直接阻力大得多。

机翼升阻比和飞行器总升阻比随迎角的变化
机翼升阻比 既然机翼升力与阻力计算表达相似,如果考察同条件下两个分力的相互比值,就可以简化掉不少其他物理量(如翼面剂,速度,总飞行重量,空气密度等),得到一个更简洁的表现固定翼机翼空气动力特征的技术数据,称为机翼升阻比hw。当离地高度较大,地效因子K=1,hw只取决于翼型,迎角,展弦比等纯几何特征。由(1)和(2)(3)(4)式可推得(5):
        hw =L/Dw= Cl/(Cdd+ Cl^2/(Pi AR ))= 1/((Cdd/Cl) +Cl/(Pi AR))                 (5)  
   注意:这里的机翼升阻比与飞行器总升阻比 h =L/D有差别,其中分母阻力项中没有考虑机身等部件产生的阻力。机身等部件阻力与机翼面积无关,但也与速度平方,空气密度及机身外形因子,机身阻力截面积等正比。尽管(5)的分子为1,实际由于(Cdd/Cl)和Cl/(Pi AR)都远远小于1,相加后取倒数值的hw必然远大于1。由于总升阻比的阻力中(分母)还要加上机身等部件阻力, 机翼升阻比数值要大于同条件下飞行器总升阻比
   作者提出机翼升阻比概念,是为了便于暂时抛开飞行器其他具体参数(如重量,翼面积,速度等),更简单直接了解机翼迎角变化引起升阻比的变化的更为基本和更普遍适用的规律。也便于今后扩大固定翼飞行理论应用。因为固定翼飞行器的特征是机翼速度在大小与运动方向上与机身速度完全相同,所以只需考虑总升阻比。而当翼面运动速度及方向与机身有区别时,单独提出机翼升阻比概念就有必要了。有了这个概念,可以把固定翼理飞行论扩展应用到旋翼,扑翼 等工作原理的分析计算中,不必去费力自创一些公众难以理解接受的“新理论“了。
  
            
机翼升阻比随迎角变化规律 最佳迎角 按照(5)和 不同迎角下 Cl, Cdd 数据,就可计算出一定展弦比下机翼升阻比hw随迎角变化规律。由于机身阻力相对机翼阻力比例较小,且不随机翼飞行迎角改变,可预见:总的飞行器升阻比与机翼升阻比相比较,除了对应数值较小外,随迎角变化规律基本相似。
   根据前述Cl/迎角 曲线规律,以及Cdd/迎角 曲线规律,按照 表1数据标定后,得出翼型Lissaman 7769 从迎角-0.5度到18度范围Cl,Cdd 数据,作者分别计算出对应展弦比AR = 6,8,10,12,15 的机翼升阻比hw数据曲线族。为作对照,同图还分别给出了AR= 6, 15, (取: 机身截面为翼面积1/10,机身外形阻力因子为0.2 条件下) 飞行器总升阻比 h 的两条曲线 见(图 4)。
图4  对应不同展弦比下 机翼升阻比,总升阻比 随迎角变化曲线 (作者原创)


图中各曲线给我们提供很多重要信息,按图可见:
1. 从负0.5度到15度,升阻比随迎角增大而首先增大到某一最大值,随之随迎角增大而减小,每一个展弦比选择,都存在一个最佳迎角对应最大升阻比
2. 不同展弦比下所得的升阻比数值(曲线)随展弦比增大而增大
3. 在展弦比15以内时,各展弦比对应的最佳迎角(最大升阻比对应迎角)均在5度以内,并且随展弦比减小而减小。例如当展弦比为15时,最佳迎角约4.5度;而当展弦比为6时,最佳迎角减少到约1.5度。
4. 同展弦比机翼升阻比hw数值均大于考虑了某具体机身参数后的总升阻比h对应数值,两曲线随迎角变化规律形状相似
5. 同展弦比机翼升阻比hw 和考虑了某具体机身参数后的总升阻比h 两曲线的最大值所对应的最佳迎角基本相同
  上述结果对于设计飞行器升阻比和选择最佳迎角(通常设为机翼安装迎角)有重要意义。

机翼诱导阻力反比于速度(各巡航速度)平方如何理解
问题的提出 固定翼飞行器机翼所受空气阻力(包括直接阻力和诱导阻力)与速度平方成正比的基本关系,既符合人体相对空气运动时对于所受空气阻力的直接体验,也适用于高速汽车,高速火车的空气阻力的计算和设计。如果有人说机翼所受空气诱导阻力反比于速度的平方,人们乍一听到时肯定会难以接受。因为最直观的反驳理由是:按照该规律任何固定翼飞行器在地面静止时都无法起飞了,因为此时机翼诱导阻力会达到无限大,完全违背人们对空气阻力与速度关系的常识。
    去年初当“人力扑翼”在网上提出“机翼所受空气诱导阻力是反比于速度的平方”,“老丘”给出参考图(见附图4)后。作者发现,他们提出该规律所指的飞行器速度,并非本文上段所指的:某飞行器在某一固定迎角下,从起飞加速到可能最大飞行速度之间变化的速度,而是专指:飞行器在升空后维持水平飞行所可能操控的各巡航速度。(所以就不必考虑静止起飞加速阶段诱导阻力变为无限大的情况了)。(注意:巡航速度的范围,随具体机型 翼面积 总起飞质量 展弦比 驱动等不同而不同。不存在统一的范围。)
如何才能理解该规律呢?
图4 老丘提供的 某飞机阻力-速度曲线图
图中:黑色-总阻力  蓝色-直接阻力 红色-诱导阻力(到失速速度以下无数据),速度和阻力单位都是英制。


维持各巡航速度靠改变机翼飞行迎角从而改变机翼的升力系数  根据基本力学原理,要维持固定翼水平匀速飞行,就要求机翼产生的升力与飞行器总重力保持平衡,速度的变化固然需要驱动推进力的随之变化(图中 绿线表示飞机可能提供的最大推力随速度的变化,与黑线交点对应实际可维持飞行的最大巡航速度 约130 knots),维持水平飞行所可能操控的各巡航速度,更根本的是靠可能的改变机翼飞行迎角,改变机翼的升力系数才能取得。如果迎角不变,升力系数不变,仅加大推力增加速度,机翼升力会大于飞机总重力,飞机就会升高而不能维持匀速水平飞行。

各巡航速度要求升力系数随巡航速度平方成反比  按(1)升力与速度关系,取升力L等于总重力Mg,可得:
L = 0.5d Cl S V^2=Mg ,  由此可得出,为保持同总重的飞行器以不同巡航速度水平飞行, 要求升力系数与巡航速度平方保持反比关系
即:    Cl = Mg/(0.5d S V^2)              
图4中虚线右边的水平坐标各巡航速度,正是对应了在相同起飞质量下,采用的不同飞行迎角,对应不同的升力系数。同一翼面积和起飞重量下,需要的对应的升力系数反比于各巡航速度平方。各巡航速度范围是:从最小速度失速速度(约43knots),到最大速度最大巡航速度(约130knots)。

诱导阻力系数与升力系数平方成正比,导致诱导阻力系数反比于各巡航速度的四次方 在诱导阻力与速度平方正比的基本规律下,因对应的诱导阻力系数正比与升力系数平方 (4),就导致在巡航速度范围内,诱导阻力系数反比于巡航速度四次方。最终,按照诱导阻力与速度平方及诱导阻力系数正比计算,就会出现图4虚线右边红色曲线显示的,诱导阻力与巡航速度平方成反比的结果。所以,图4的各阻力曲线(除去机身等阻力成分,而机身阻力部分并不含诱导阻力),与本文前面所述基本规律并不矛盾,完全可以由上段所表述各基本公式,在知道翼型在不同迎角下升力系数Cl 阻力系数Cdd的数据表,加上机翼面积,展弦比 数据,飞机总起飞质量数据情况下,在维持机翼产生的升力与飞行器总重力保持平衡前提下,保持
L= Mg=0.5dCl S V^2 ,按不同迎角对应 Cl数值,计算出对应的可能巡航速度,再按各巡航速度以及各飞行迎角对应的 Cdd,Cl数值,按(2)(3)(4)式分别计算出来。在每个巡航速度对应迎角下对应的诱导阻力还是遵循对应诱导阻力系数乘速度平方的基本规律。

此反比规律仅适用于巡航速度范围  如果忘记上述维持固定升力改变迎角改变升力系数的前提条件,把图4虚线右边规律扩大到图4中虚线的左边(此时低于失速速度,飞行器不能离地升空,速度变化也不存在对应迎角变化及升力系数变化),误认为在某固定迎角条件下,诱导阻力还是随速度平方反比的规律,用于地面加速阶段来计算阻力,那就本末倒置,大错特错了。
     注:图4中虚线的左边该段速度上画的是总阻力(黑)与直接阻力(蓝)合一,诱导阻力(红)不存在。这点显然不对,因为在该段速度范围,还是存在诱导阻力,且大于直接阻力,与速度关系遵循与速度平方及诱导阻力系数正比规律(地面加速及离地起飞过程中,(4)中地效因子K小于1不能省略)。

巡航速度调控范围内升阻比,阻力及驱动功率的变化
升阻比随巡航速度变化曲线 最佳巡航速度   图4中虚线右面,正是给出了典型飞行器驱动飞行巡航速度范围内阻力的变化规律。可惜美国资料所标注速度和力的单位都采用英制;且没有给出总飞行重量,无法用于计算出升阻比具体数值。因为巡航速度飞行时升力等于重力,把固定的总重力/总阻力(黑色曲线),就可以得出巡航速度范围内飞机升阻比数值曲线。找出最佳巡航速度(该图最小总阻力点即对应最大升阻比,对应最佳巡航速度约65 knots)。可以预计,对应升阻比的曲线将会与总阻力曲线数值成倒数关系,开始随巡航速度增加而增加到约65 knots时达最大,然后随巡航速度增加到最大过程中不断减小。

飞行器各巡航速度对应的驱动功率 最佳巡航功率 按照功率定义,飞行器作水平匀速巡航飞行驱动功率(指有效驱动功率,实际消耗功率还需要除以驱动系统效率)等于 推力乘速度。而巡航飞行的推力正好与总阻力相等,所以巡航功率按(6):
       P = Tx Vs = D x Vs                                    (6)
式中: P  巡航功率(有效功率) (瓦);  T 推力 (牛顿); D 阻力 (牛顿);  Vs 巡航速度  (米/秒)。
   则按图4中虚线右边,对应巡航速度乘上阻力(黑色曲线),就可以得出各巡航速度对应的有效驱动功率的变化曲线(注意单位换算)。需要注意:最佳巡航速度(即最大升阻比对应巡航速度,约65 knots)所对应的就是最佳巡航功率,并非该飞机最小巡航功率。

最佳巡航功率在同一飞行距离内能耗最小 设飞行器总质量  M  (千克),重力加速度g, 升阻比 h,飞行距离 J  (米),Vs 巡航速度  (米/秒),飞行时间  t  (秒),则 总能耗(有效)E (焦耳) 在忽略飞行中总重量随耗油的改变,无风时,可按(7)计算:
      E = Pxt = D Vs x t = (Mg/h) Vs x( J /Vs) =MgJ/h           (7)
可见最后总能耗(有效)等于总重力乘总距离后除以升阻比,与采用的巡航速度无关
所以,当升阻比最大(采用最佳巡航速度)时,总能耗最小。为节能,应采用该飞行器最佳巡航速度(对应最大升阻比)飞行。
   若作各个飞行器间横向比较,则相同重量的不同飞行器,飞行在各自最佳巡航速度下,升阻比越大的飞行器越节能。不同质量的飞行器之间,升阻比越大的飞行器,单位重量.里程的耗能越小。这些规律在固定翼飞机特别是人力飞机,长航时无人机,以及太阳能飞机(载人或长航时无人机)等飞行器的设计制造及驾驶实践中,已经并继续被广泛应用。

                                                       (完)2018/02/02 发表于 新浪博客 和 滑翔中国/论坛/动力滑翔

参考文献
[1] THE KREMER HUMAN POWERED FLIGHT COMPETITION FOR SCHOOLS  Aircraft Performance
                                     ---The Royal Aeronautical Society  4 Hamilton Place, London W1J 7BQ
发表于 2018-2-2 21:57 | 显示全部楼层
以上信息发自手机版论坛
发表于 2018-2-3 10:56 | 显示全部楼层
学霸级别理论
发表于 2018-3-11 12:23 | 显示全部楼层
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